一个积分的解法

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\[ \begin{array}{l}  \int {\cos ^3 xdx = } \int {\cos ^2 xd\sin x}  \\    = \cos ^2 x\sin x - \int {\sin xd(\cos ^2 x)}  \\    = \cos ^2 x\sin x - 2\int {\sin x\cos x( - \sin x)dx}  \\    = \cos ^2 x\sin x + 2\int {\sin ^2 x\cos xdx}  \\    = \cos ^2 x\sin x + 2\int {\sin ^2 xd\sin x}  \\    = (1 - sin^2 x)\sin x + 2\int {U^2 dU}  \\    = \sin x - \sin ^3 x + \frac{2}{3}\sin ^3 x + c \\    = \sin x - \frac{1}{3}\sin ^3 x + c \\   \end{array} \]

线性方程解法

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$$\[ \left[ {\begin{array}{*{20}c}    1 & 1 & 1  \\    3 & 1 & { - 1}  \\    5 & { - 2} & 3  \\ \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}c}    x  \\    y  \\    z  \\ \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}c}    6  \\    2  \\    {10}  \\ \end{array}} \right] \] $$

设最左边的矩阵等于A,等式两边都乘以A的逆矩阵。那么:

\[ \left[ {\begin{array}{*{20}c}    x  \\    y  \\    z  \\ \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}c}    1 & 1 & 1  \\    3 & 1 & { - 1}  \\    5 & { - 2} & 3  \\ \end{array}} \right]^{ - 1} \left[ {\begin{array}{*{20}c}    6  \\    2  \\    {10}  \\ \end{array}} \right] \]

\[ \left[ {\begin{array}{*{20}c}    x  \\    y  \\    z  \\ \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}c}    { - 0.0417} & {0.2083} & {0.0833}  \\    {0.5833} & {0.0833} & { - 0.1667}  \\    {0.4583} & { - 0.2917} & {0.0833}  \\ \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}c}    6  \\    2  \\    {10}  \\ \end{array}} \right] \]

\[ \left[ {\begin{array}{*{20}c}    x  \\    y  \\    z  \\ \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}c}    1  \\    2  \\    3  \\ \end{array}} \right] \]

 

G=SH

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由于G=SHWe do not need to factorize the overall channel matrix. 这里的overall channel matrix指的是G,而接收端滤波矩阵是F=SH,这里是否矛盾?
反馈矩阵B, 经过反馈矩阵后是B-1a,再经过信道后是GB-1a=SHB-1a;然后再经过接收方的滤波器F,得到的是:
SHSHB-1a
=HB-1a  (
因为S是酉阵特性)
=HH-1diag(T)a
=diag(T)a
其中diag(T)仅仅是一个功率因子.
现在,假如H是对角阵,那么T也是一个对角阵.这种分解还会存在吗?
MIMO 2x2的情况下MT=2,MR=2N=64,那么信道矩阵
H= $\left[ {\begin{array}{*{20}c}    {{\bf{{\rm H}}}_{1,1} } & {{\bf{{\rm H}}}_{2,1} }  \\    {{\bf{{\rm H}}}_{1,2} } & {{\bf{{\rm H}}}_{2,2} }  \\ \end{array}} \right]$
同时128x128ICI系数矩阵等于S=diag[S1,S2],因为其中每一个子块都是酉阵,所以S也是酉阵。
对于G=SH,仅仅分解H,那么H=FHT等价于T=FH
接收方滤波矩阵D=FSH,反馈矩阵B=diag-1(T)T,那么发送信号为B-1a,经过信道后是SHB-1a
经过接收方滤波之后是DSHB-1a= FSHSHB-1a= FSHSHB-1a= TB-1a
可见,MIMO情况下和SISO情况下,反馈矩阵B的求法是一样的,接收端滤波矩阵稍有区别(这是因为cholesky分解和QR分解造成的不同方案)。,但反馈矩阵一定是一个三角阵。
同时,这次分解中,H不是一个对角阵了。





速度变化曲线

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速度100~900区间的变化曲线公式:

$y=0.00000215\,x^3-0.0022\,x^2+0.9372\,x+23.54$

速度800以上区间的变化曲线公式:

$$y=26.66\,e^{0.003428\,x}+2.131*10^{-13}\,e^{0.03397\,x}$$

 \begin{array}{l}  \left[ {\begin{array}{*{20}c}    1 & 2 & { - 1}  \\    3 & 4 & { - 2}  \\    5 & { - 4} & 1  \\ \end{array}} \right]\begin{array}{*{20}c}    1 & 0 & 0  \\    0 & 1 & 0  \\    0 & 0 & 1  \\ \end{array} \\    \to \left[ {\begin{array}{*{20}c}    1 & 2 & { - 1}  \\    0 & { - 2} & 1  \\    0 & { - 14} & 6  \\ \end{array}} \right]\begin{array}{*{20}c}    1 & 0 & 0  \\    { - 3} & 1 & 0  \\    { - 5} & 0 & 1  \\ \end{array} \to \left[ {\begin{array}{*{20}c}    1 & 2 & { - 1}  \\    0 & { - 2} & 1  \\    0 & 0 & { - 1}  \\ \end{array}} \right]\begin{array}{*{20}c}    1 & 0 & 0  \\    { - 3} & 1 & 0  \\    {16} & { - 7} & 1  \\ \end{array} \\    \to \left[ {\begin{array}{*{20}c}    1 & 2 & 0  \\    0 & { - 2} & 0  \\    0 & 0 & { - 1}  \\ \end{array}} \right]\begin{array}{*{20}c}    { - 15} & 7 & { - 1}  \\    {13} & { - 6} & 1  \\    {16} & { - 7} & 1  \\ \end{array} \to \left[ {\begin{array}{*{20}c}    1 & 0 & 0  \\    0 & { - 2} & 0  \\    0 & 0 & { - 1}  \\ \end{array}} \right]\begin{array}{*{20}c}    { - 2} & 1 & 0  \\    {13} & { - 6} & 1  \\    {16} & { - 7} & 1  \\ \end{array} \\    \to \left[ {\begin{array}{*{20}c}    1 & 0 & 0  \\    0 & 1 & 0  \\    0 & 0 & 1  \\ \end{array}} \right]\begin{array}{*{20}c}    { - 2} & 1 & 0  \\    { - 13/2} & 3 & { - 1/2}  \\    { - 16} & 7 & { - 1}  \\ \end{array} \\   \end{array}

test

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第一个是行间公式$$x^2_1$$有什么区别吗?

这个是行内公式$x^2_1$,发现

一样啊?